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¿Por qué 0! = 1?

El factorial (operación !) realmente es un caso concreto de productorio donde el rango inferior es 1 y el superior es el valor del que se quiere conocer el factorial. El productorio es similar al sumatorio que todos hemos visto alguna vez.

Tanto el productorio como el sumatorio realizan una operación con el conjunto de valores incluidos en el rango especificado entre el inicio y el fin, evidentemente el productorio multiplica y el sumatorio realiza la suma.

¿Qué sucede cuando el rango sobre el que se realiza la operación es vacío? Pues que el resultado es el elemento neutro de la operación. El cero en el caso de la suma y el uno en el caso del producto.

Es decir: 0! = multiplicador de 1 a 0 = (rango vacío entonces resultado igual a elemento neutro de la operación) = 1

¿A que sumatorio de 1 a 0 = 0 no le extraña a nadie? Pues lo mismo pasa con el productorio pero con el elemento neutro correspondiente a la operación que representa.

 

Y para terminar, un problema desafío: ¿Cómo calcular un factorial en función de su número de ceros?

Para obtener un cero hace falta tanto un múltiplo de 2 como uno de 5. Como los de 2 son más comunes y ambos están distribuidos de forma uniforme entre los naturales, sin saltos ni nada raro, podemos reducir esto a buscar múltiplos de 5.

De esa manera, 5! es el primer factorial que acaba en un cero.
10! es el primer factorial que acaba en dos ceros.
15! es el primer factorial que acaba en tres ceros.
20! es el primer factorial que acaba en cuatro ceros.
25! es el primer factorial que acaba en seis ceros. Son seis y no sólo cinco porque 25 tiene dos factores 5, y cada uno aporta un cero al resultado final.

 

Fuentes:

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